Valeur moyenne, médiane et modale
Que sont la moyenne, la médiane et la valeur modale ?
En statistique descriptive, les valeurs moyenne, médiane et modale sont des indicateurs de position (mesures de tendance centrale). Sur la base des données recueillies dans un échantillon, les indicateurs de position fournissent des informations sur l'emplacement du "centre" de la distribution.
Les mesures de localisation peuvent être utilisées pour résumer ou décrire une liste de données avec un seul paramètre. Par exemple, la durée moyenne des études des étudiants en sport à l'université XY est de 11,1 semestres.
Avec l' indicateur de dispersion, le paramètre de localisation décrit donc une distribution dans les statistiques. Les paramètres de localisation les plus couramment utilisés sont la moyenne, la valeur modale et la médiane. Toutes ces mesures décrivent le centre de la distribution de différentes manières. Le choix de l'indicateur de position dépend du niveau de mesure de la variable et de la résistence aux valeurs aberrantes.
Moyenne (moyenne arithmétique)
La valeur moyenne ne peut être calculée que pour les variables métriques, c'est-à-dire si une échelle de mesure métrique est donnée. Elle indique où se trouve le centre de gravité d'une distribution. Dans la vie courante, elle est également appelée "moyenne".
Définition :
La moyenne arithmétique est la somme de toutes les observations divisée par leur nombre n.
La valeur moyenne peut être calculée en additionnant toutes les valeurs d'une variable, puis en divisant la somme par le nombre de valeurs caractéristiques.
Calculer la valeur moyenne
On a demandé à un groupe de 5 étudiants en statistiques combien de tasses de café ils boivent par semaine. Le résultat est de 21, 25, 10, 8 et 11 tasses. La moyenne est donc de 15.
Conseil : vous pouvez facilement calculer ici la valeur moyenne ou l'indicateur de position souhaité pour vos données sur l'onglet DATA dans la calculatrice de statistiques, c'est très simple.
Moyenne géométrique et moyenne quadratique
Lorsque l'on parle de moyenne ou de moyenne empirique, on fait généralement référence à la moyenne arithmétique, mais il existe également d'autres types de valeurs moyennes. D'autres valeurs moyennes sont, par exemple, la moyenne géométrique et la moyenne quadratique, également appelée Root Mean Square (RMS).
- Moyenne géométrique : s'il y a n nombres positifs, la moyenne géométrique est la n-ième racine du produit des n valeurs.
- Moyenne quadratique : la moyenne quadratique est obtenue en divisant la somme des carrés de chacune des valeurs par le nombre de valeurs et en prenant la racine carrée de ce résultat.
Médiane
Si les valeurs mesurées d'une variable sont ordonnées par taille, la valeur du milieu est la médiane. La médiane est donc la "valeur moyenne" d'une distribution. Elle conduit à une division de la série en deux parties : une moitié contient les valeurs plus petites et une autre les valeurs plus grandes que la médiane.
Comme pour le calcul de la moyenne, les données sont ordonnées, les variables doivent avoir un niveau d'échelle ordinale ou métrique.
Définition :
Dans une série ordonnée, la médiane est la valeur qui divise la série en un intervalle supérieur et un intervalle inférieur égaux.
Pour que la médiane puisse être calculée, la variable doit avoir un niveau d'échelle ordinale. La mise à l'échelle ordinale signifie qu'il existe un ordre de classement entre les valeurs d'une variable. C'est le cas, par exemple, des notes scolaires, de la taille ou du salaire. Cependant, il n'est pas possible de créer un ordre de classement pour une variable "lieu de naissance" et la médiane ne peut donc pas être calculée ici.
S'il y a un nombre impair de valeurs caractéristiques, la médiane est une valeur qui se produit réellement.
S'il y a un nombre pair de supports de caractéristiques (personnes), les deux caractéristiques médianes sont additionnées et leur somme est divisée par deux.
Moyenne et médiane
Par rapport à la moyenne, la médiane est beaucoup plus robuste contre la dispersion. Une valeur aberrante n'a généralement aucune influence sur la médiane, mais elle a une influence plus ou moins grande sur la moyenne.
Valeur modale
La valeur modale est la valeur la plus courante. La valeur modale est donc la valeur la plus fréquente dans une distribution et correspond à la valeur la plus élevée de la distribution. Il s'agit donc de la valeur "typique" d'une distribution.
La valeur modale peut être utilisée pour les variables métriques et catégorielles (nominales ou ordinales).
Définition :
La valeur modale est la valeur d'une distribution qui se produit le plus souvent.
Calculer la valeur modale
Exemple : Dans un échantillon de 70 managers de Berlin, 20 conduisent une Daimler, 25 une BMW, 10 une VW et 15 une Audi. La marque de voiture BMW est la plus fréquente. La valeur modale est donc "BMW".
La valeur modale peut donc être facilement lue dans un tableau de fréquence, c'est la valeur observée la plus fréquente.
Attention : Il peut aussi y avoir plusieurs valeurs modales. Si deux points ou plus apparaissent avec la plus grande fréquence, il y a alors plusieurs valeurs modales. Dans ce cas, on parle alors de distribution bimodale ou multimodale.
Avantage et inconvénient de la moyenne, de la médiane et du mode
Si la distribution est symétrique, la moyenne et la médiane sont égales, et si la distribution est symétrique et unimodale, les trois mesures sont égales. En règle générale, cependant, les trois mesures ont des valeurs différentes. Maintenant, bien sûr, la question est de savoir quelle mesure de tendance centrale utiliser. Malheureusement, il n'existe pas de règle claire à ce sujet, mais seulement quelques aides à la décision.
La moyenne : la valeur moyenne est de loin la plus utilisée. Les inconvénients de la moyenne sont qu'elle est sensible aux valeurs aberrantes, la valeur ne doit pas nécessairement exister dans les données et, pour que l'interprétation soit significative, les données doivent avoir un niveau d'échelle métrique.
Médiane : le grand avantage de la médiane est qu'elle est très robuste aux valeurs aberrantes et que les données ne doivent être mises à l'échelle que de manière ordinale.
Mode : le mode est la valeur qui se produit le plus fréquemment, ce qui présente l'avantage que la valeur se produit réellement. En outre, le mode peut également être calculé pour les données qui ne peuvent pas être ordonnées et qui ont donc un niveau d'échelle nominal. L'inconvénient est que le mode ne prend pas en compte les autres données existantes.
Exemple d'indicateurs de position
Avec le calculateur de statistiques en ligne sur DATAtab, vous pouvez calculer la moyenne, la médiane et la valeur modale de vos données.
Voici comment cela fonctionne sur DATAtab : À titre d'exemple, on peut utiliser le score d'un examen de statistiques. Pour ce faire, copiez les données dans la calculatrice de statistiques, cliquez sur Statistiques descriptives et sélectionnez la variable "Score".
| Étudiant | Score |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 5 |
| 4 | 8 |
| 5 | 9 |
| 6 | 12 |
| 7 | 14 |
| 8 | 16 |
| 9 | 17 |
| 10 | 20 |
Le résultat ressemble alors à ceci :
| Score | |
|---|---|
| Moyenne | 11 |
| Médiane | 10,5 |
| Mode | 5 |
Calculez la moyenne :
La valeur moyenne est calculée en divisant la somme de toutes les valeurs par le nombre de valeurs.
Calculer la médiane :
En raison du nombre pair de valeurs, la médiane est obtenue en additionnant les deux valeurs du milieu. La somme est ensuite divisée par deux.
Calculer le mode :
Pour obtenir le mode, on compte la fréquence d'occurrence de chaque valeur individuelle. La valeur qui apparaît le plus fréquemment est la valeur modale. Dans ce cas, la valeur 5 est la seule qui apparaît deux fois, la valeur modale dans cet exemple est donc 5.
