Test de Kruskal-Wallis

Qu'est-ce que le test de Kruskal-Wallis ?

Le test de Kruskal-Wallis (test H) est un test d'hypothèse pour des échantillons multiples indépendants, utilisé lorsque les hypothèses d'une analyse de variance à un facteur ne sont pas respectées.

Le test de Kruskal-Wallis étant un test non paramétrique (également appelé test sans distribution), il n'est pas nécessaire que les données utilisées soient normalement distribuées, contrairement à l'analyse de la variance. La seule exigence est que les données soient de type ordinal.

Dans le test de Kruskal-Wallis, les variables ordinales suffisent, car les tests non paramétriques n'utilisent pas les différences entre les valeurs, mais les rangs (quelle valeur est la plus grande, quelle valeur est la plus petite). C'est pourquoi le test de Kruskal-Wallis est aussi souvent appelé "test d'ANOVA à sens unique par rangs de Kruskal-Wallis".

Exemples pour le test de Kruskal-Wallis

Pour le test de Kruskal-Wallis, on peut bien sûr utiliser les mêmes exemples que pour l'analyse de variance à un facteur, mais en ajoutant que les données ne doivent pas nécessairement être normalement distribuées.

Exemple en médecine :

Un laboratoire pharmaceutique souhaite vérifier si un médicament XY a une influence sur le poids corporel. À cette fin, le médicament est administré à 20 sujets, 20 sujets reçoivent un placebo et 20 sujets ne reçoivent ni médicament ni placebo.

Exemple en sciences sociales :

Trois groupes d'âge diffèrent-ils en termes de visionnage quotidien de la télévision ?

Question de recherche et hypothèses

La question de recherche pour le test de Kruskal-Wallis peut être la suivante : Existe-t-il une différence dans la tendance centrale de plusieurs échantillons indépendants ? Cette question débouche sur l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative.

Hypothèse nulle

Les échantillons indépendants ont tous la même tendance centrale et proviennent donc de la même population.

Hypothèse alternative

Au moins un des échantillons indépendants n'a pas la même tendance centrale que les autres échantillons et provient donc d'une population différente.

Conditions d'application du test de Kruskal-Wallis

Pour calculer un test de Kruskal-Wallis, il suffit de disposer de plusieurs échantillons aléatoires indépendants présentant au moins des caractéristiques à échelle ordinale. Les variables ne doivent pas nécessairement satisfaire à une courbe de distribution.

Si l'on dispose d'un échantillon dépendant, il convient d'utiliser le test de Friedman.

Calculer le test de Kruskal-Wallis

Le calcul de l'analyse de la variance des rangs de Kruskal et Wallis est similaire à celui du test de Mann-Whitney-U, qui est l'équivalent non paramétrique du test t pour les échantillons indépendants.

Supposons que l'hypothèse nulle soit vraie et qu'il n'y ait donc pas de différence entre les échantillons indépendants. Les rangs élevés et les rangs faibles sont alors distribués de manière aléatoire dans les échantillons et devraient être répartis de manière égale dans les groupes. Par conséquent, la probabilité qu'un rang soit attribué à un groupe est la même pour tous les groupes.

S'il n'y a pas de différence entre les groupes, la valeur moyenne des rangs devrait également être la même dans tous les groupes. La valeur attendue des rangs pour chaque groupe est alors donnée par :

Chaque échantillon a la même valeur attendue des rangs, ce qui correspond à la valeur attendue de la population. En outre, la variance des rangs est nécessaire. La variance peut être calculée à l'aide de la formule suivante :

Dans le test de Kruskal-Wallis, la variable de test H est calculée. La valeur H correspond à la valeur χ2. La valeur H résulte de :

La valeur critique de H peut être lue dans le tableau des valeurs critiques de χ2.

Calcul avec des données d'exemple

Supposons que vous ayez mesuré le temps de réaction de trois groupes et que vous vouliez savoir s'il y a une différence entre eux. Pour le savoir, on utilise le test H (test de Kruskal-Wallis).

Nous attribuons d'abord un rang à chaque personne, puis nous calculons la somme des rangs et la somme moyenne des rangs.

Nous avons mesuré le temps de réaction de douze personnes, le nombre de cas est donc de douze. Les degrés de liberté sont donnés par le nombre de groupes moins un, nous avons donc deux degrés de liberté.

Nous avons maintenant calculé toutes les valeurs pour calculer la variable de test H.

Une fois la valeur H ou la valeur du khi-deux calculée, la valeur critique du khi-deux peut être lue dans le tableau des valeurs critiques du khi-deux.

À un niveau de signification de 5 %, la valeur critique du khi-deux est de 5,991. Cette valeur critique est donc supérieure à la valeur calculée du khi-deux ou valeur H. L'hypothèse nulle est donc maintenue et il n'y a pas de différence de temps de réaction entre les trois groupes.

Test post-hoc

Le test de Kruskal-Wallis peut être utilisé pour déterminer si au moins deux groupes diffèrent l'un de l'autre. Le test de Kruskal-Wallis n'apporte pas de réponse à la question de savoir lequel des groupes diffère ; un test post-hoc est nécessaire à cet effet.

À cette fin, le test de Dunn est le test non paramétrique approprié pour la comparaison multiple par paire.

Tests de Dunn-Bonferroni

Pour déterminer quelles paires diffèrent, les groupes individuels peuvent être comparés deux à deux. Le test de Dunn est utilisé pour calculer la valeur p de chaque paire. Pour comparer les groupes A et B, la valeur z est calculée à l'aide de la formule suivante :

où i est l'un des groupes et y_i= W_A-W _B est la différence des sommes moyennes des rangs. L'erreur standard est donnée par

où N est le nombre de tous les cas, r est le nombre de rangs associés et τ_s est le nombre de cas à chaque rang.

La valeur p calculée peut ensuite être ajustée à l'aide de la correction de Bonferroni. La correction de Bonferroni est la méthode la plus simple pour contrer le problème des comparaisons multiples. La valeur p calculée est multipliée par le nombre de groupes.

Si la valeur p ajustée d'une comparaison par paire est inférieure au seuil de signification (généralement 0,05), l'hypothèse nulle selon laquelle il n'y a pas de différence est rejetée. Ainsi, si la valeur p ajustée est inférieure à 0,05, on suppose que les deux groupes respectifs diffèrent.

DATAtab produit automatiquement le test de Dunn-Bonferroni lors du calcul d'un test de Kruskal-Wallis.

Calculer le test de Kruskal-Wallis en ligne avec DATAtab

Bien entendu, il est possible de calculer le test de Kruskal-Wallis en ligne avec DATAtab. Il suffit d'aller dans la calculatrice de statistiques, de copier les données dans le tableau de la calculatrice de statistiques et de sélectionner l'onglet "Tests d'hypothèses". Il suffit ensuite de sélectionner les variables à analyser et de décocher "Test paramétrique".

DATAtab donne alors les résultats, y compris l'interprétation, sous la forme suivante :

Interprétation du test de Kruskal-Wallis

Comme pour tout test d'hypothèse statistique, c'est la valeur p calculée qui est intéressante à la fin. La question est de savoir si la valeur p calculée est inférieure ou supérieure au seuil de signification généralement fixé à 0,05. Si la valeur p est supérieure, l'hypothèse nulle est retenue, sinon elle est rejetée.

Dans l'exemple ci-dessus, la valeur p est de 0,779 et donc supérieure à 0,05. L'hypothèse nulle est donc retenue et on suppose qu'il n'y a pas de différence entre les différents groupes en termes de temps de réaction.

Rapport sur le test de Kruskal-Wallis

Comment les résultats d'un test de Kruskal-Wallis sont-ils présentés ?

Un test de Kruskal-Wallis a été calculé pour vérifier si les groupes A, B et C ont un effet sur le temps de réaction. Le test de Kruskal-Wallis a révélé qu'il n'y avait pas de différence significative entre les catégories A, B et C de la variable indépendante en ce qui concerne la variable dépendante du temps de réaction, p=0,779. Ainsi, avec les données disponibles, l'hypothèse nulle n'est pas rejetée.