Test U de Mann-Whitney

Le test U de Mann-Whitney peut être utilisé pour vérifier s'il existe une différence entre deux échantillons (groupes), et les données ne doivent pas nécessairement être distribuées normalement.

Pour déterminer s'il existe une différence entre deux échantillons, on utilise les sommes des rangs des deux échantillons plutôt que les moyennes comme dans le test t pour les échantillons indépendants.

Le test U de Mann-Whitney est donc le pendant non paramétrique du test t pour échantillons indépendants ; il est soumis à des hypothèses moins strictes que le test t. Par conséquent, le test U de Mann-Whitney est toujours utilisé lorsque la condition de distribution normale du test t n'est pas remplie.

Hypothèses du test U de Mann-Whitney

Pour pouvoir calculer un test U de Mann-Whitney, il faut disposer de deux échantillons aléatoires indépendants présentant au moins des caractéristiques à échelle ordinale. Les variables ne doivent satisfaire à aucune courbe de distribution.

Si les données sont disponibles par paires, le test de Wilcoxon doit être utilisé à la place du test U de Mann-Whitney.

Hypothèses des tests U de Mann-Whitney

Les hypothèses du test U de Mann-Whitney sont très similaires à celles du test t indépendant. La différence, cependant, est que dans le cas du test U de Mann-Whitney, le test est basé sur une différence de tendance centrale, alors que dans le cas du test t, le test est basé sur une différence de valeurs moyennes. Ainsi, le test U de Mann-Whitney aboutit à :

• Hypothèse nulle : il n'y a pas de différence (en termes de tendance centrale) entre les deux groupes de la population.
• Hypothèse alternative : il existe une différence (en termes de tendance centrale) entre les deux groupes de la population.

Calculer le test U de Mann-Whitney

Pour calculer le test U de Mann-Whitney pour deux échantillons indépendants, il faut d'abord déterminer les rangs des valeurs individuelles (un exemple avec des rangs égaux suit ci-dessous).

Ces classements sont ensuite additionnés pour les deux groupes. Dans l'exemple ci-dessus, la somme des rangs T₁ des femmes est de 37 et la somme des rangs T₂ des hommes est de 29. La valeur moyenne des rangs est donc R̄₁= 6,17 pour les femmes et R̄₁= 5,80 pour les hommes. La différence entre R̄₁ et R̄₂ indique maintenant s'il existe des différences possibles entre les temps de réaction. Dans l'étape suivante, les valeurs U sont calculées à partir des sommes de rangs T₁ et T₂.

où n₁, n₂ sont le nombre d'éléments dans le premier et le second groupe respectivement. Si les deux groupes proviennent de la même population, c'est-à-dire que les groupes ne diffèrent pas, la valeur des deux valeurs U est la valeur attendue de U. Une fois que la moyenne et la dispersion ont été estimées, z peut être calculé. Pour la valeur U de Mann-Whitney, la plus petite valeur de U₁ et U₂ est utilisée.

Selon la taille de l'échantillon, la valeur p du test U de Mann-Whitney est calculée de manière différente. Pour un maximum de 25 cas, on utilise les valeurs exactes, qui peuvent être lues dans un tableau. Pour des échantillons plus importants, la distribution normale peut être utilisée comme approximation. Remarque : dans cet exemple, nous utiliserions en fait la valeur exacte, mais nous utiliserons néanmoins la distribution normale. Pour cela, il suffit d'insérer la valeur z dans la calculatrice de la valeur z à la valeur p de DATAtab.

Si la valeur z calculée est supérieure à la valeur z critique, les deux groupes diffèrent.

Calculer le test U de Mann-Whitney en cas d'égalité des rangs

Si plusieurs personnes partagent un rang, on parle de rangs liés. Dans ce cas, le calcul des sommes des rangs et de l'écart-type de la valeur U est modifié. Nous allons examiner ces deux aspects à l'aide d'un exemple.

Dans cet exemple, on peut voir que...

• ...les temps de réaction 34 apparaissent deux fois et partagent les rangs 2 et 3
• ...les temps de réaction 39 apparaissent trois fois et se partagent les rangs 6, 7 et 8.

Pour tenir compte de ces rangs liés, les valeurs moyennes des rangs communs sont calculées dans chaque cas. Dans le premier cas, on obtient un "nouveau" rang de 2,5 et dans le second cas, un "nouveau" rang de 7. Les sommes des rangs T peuvent maintenant être calculées.

Comme les égalités de rangs sont clairement visibles dans le tableau ci-dessus, un terme est calculé ici, qui est nécessaire pour le calcul ultérieur de la valeur u en présence d'égalités de rangs.

Toutes les valeurs sont maintenant disponibles pour calculer la valeur z en tenant compte des rangs liés.

Une fois de plus, il convient de noter qu'il faut environ 20 cas pour supposer une distribution normale des valeurs u.

Exemple avec DATAtab

Le test U de Mann-Whitney peut être facilement calculé avec DATAtab. Il suffit de copier le tableau ci-dessous ou ses propres données dans la calculatrice de statistiques et de cliquer sur Tests d'hypothèse. Cliquer ensuite sur les deux variables et sélectionner Test non paramétrique.

DATAtab donne alors le tableau suivant pour le test U de Mann-Whitney :

Le test U de Mann-Whitney fonctionne avec des rangs, de sorte que le résultat indiquera d'abord les rangs moyens et la somme des rangs. Le temps de réaction des femmes est légèrement inférieur à celui des hommes.

DATAtab donne la signification asymptotique et la signification exacte. La signification utilisée dépend de la taille de l'échantillon. En règle générale :

• n₁ + n₂ < 30 → signification exacte
• n₁ + n₂ > 30 → signification asymptotique

La signification exacte est donc utilisée pour cet exemple. La signification (bilatérale ) est de 0,931 et donc supérieure au seuil de signification de 0,05. Par conséquent, ces données ne permettent pas de déterminer une différence entre le temps de réaction des hommes et celui des femmes.

Interprétation du test de Mann-Whitney-U

Le temps de réaction du groupe des femmes présente les mêmes valeurs élevées (Mdn= 39) que le temps de réaction du groupe des hommes (Mdn= 39). Un test U de Mann-Whitney a montré que cette différence n'était pas statistiquement significative, U=14, p=.931, r=0.06.

Taille de l'effet du test U de Mann-Whitney

Pour déterminer l'ampleur de l'effet du test de Mann-Whitney-U, il faut disposer de la statistique de test standardisée z et du nombre de paires n, ce qui permet de calculer l'ampleur de l'effet à l'aide de la formule suivante

Dans ce cas, l'ampleur de l'effet est de 0,06. En général, on peut dire de l'importance de l'effet :

• Taille de l'effet r inférieure à 0,3 → petit effet
• Taille de l'effet r entre 0,3 et 0,5 → effet moyen
• Taille de l'effet r supérieure à 0,5 → effet important

Dans ce cas, la taille de l'effet de 0,06 est donc un petit effet.