Le test de Friedman

Le test de Friedman est un test statistique non paramétrique utilisé pour analyser des données à mesures répétées. Il est principalement utilisé lorsque les hypothèses de normalité et d'homogénéité des variances ne sont pas respectées, ce qui en fait une alternative solide à l'ANOVA à mesures répétées.

Qu'est-ce qu'un échantillon dépendant (mesure répétée) ? Dans un échantillon dépendant, les valeurs mesurées sont liées. Par exemple, si un échantillon est constitué de personnes ayant subi une opération du genou et que ces personnes sont interrogées avant l'opération, puis une et deux semaines après l'opération, il s'agit d'un échantillon dépendant. C'est le cas parce que la même personne a été interrogée à plusieurs moments.

Test de Friedman vs. ANOVA avec mesures répétées

On pourrait dire à juste titre que l'analyse de la variance avec mesures répétées teste exactement la même chose, puisqu'elle teste également s'il y a une différence entre trois échantillons dépendants ou plus.

C'est exact, le test de Friedman est la contrepartie non paramétrique de l'analyse de la variance avec mesures répétées. Mais quelle est la différence entre les deux tests ?

L'analyse de la variance teste la mesure dans laquelle les valeurs mesurées de l'échantillon dépendant diffèrent. Le test de Friedman, quant à lui, utilise les rangs plutôt que les valeurs mesurées réelles.

Le point dans le temps où une personne a la valeur la plus élevée obtient le rang 1, le point dans le temps où la valeur est la deuxième plus élevée obtient le rang 2 et le point dans le temps où la valeur est la plus faible obtient le rang 3. Cette opération est maintenant effectuée pour toutes les personnes ou pour toutes les lignes. Ensuite, les rangs des différents moments sont additionnés.

La première fois, nous obtenons une somme de 7, la deuxième fois une somme de 8 et la troisième fois une somme de 9. Nous pouvons maintenant vérifier l'écart entre ces sommes de rangs.

Pourquoi utilise-t-on les rangs ? Le grand avantage est que si l'on ne regarde pas la différence de moyenne, mais la somme des rangs, il n'est pas nécessaire que les données soient normalement distribuées.

Pour simplifier, si les données sont normalement distribuées, on utilise des tests paramétriques. Pour plus de deux échantillons dépendants, il s'agit de l'ANOVA avec mesures répétées.

Si les données ne sont pas normalement distribuées, on utilise des tests non paramétriques. Pour plus de deux échantillons dépendants, il s'agit du test de Friedman.

Hypothèses du test de Friedman

Cela nous amène à la question de recherche, à laquelle le test de Friedman permet de répondre. La question de recherche est la suivante : existe-t-il une différence significative entre plus de deux groupes dépendants ? Le test de Friedman aboutit à l'hypothèse nulle et à l'hypothèse alternative :

• Hypothèse nulle : il n'y a pas de différence significative entre les groupes dépendants.
• Hypothèse alternative : il existe une différence significative entre les groupes dépendants.

Bien entendu, comme nous l'avons déjà mentionné, le test de Friedman n'utilise pas les valeurs réelles, mais les rangs.

Exemple de test de Friedman

Il peut être intéressant de savoir si le traitement d'une hernie discale a une influence sur la perception de la douleur par le patient. Pour ce faire, on mesure la sensation de douleur avant la thérapie, au milieu de la thérapie et à la fin de la thérapie. On veut maintenant savoir s'il y a une différence entre les différents moments.

La variable indépendante est donc le temps, c'est-à-dire l'évolution de la thérapie dans le temps. La variable dépendante est la perception de la douleur. Nous disposons maintenant d'une progression de la perception de la douleur de chaque personne au fil du temps et nous voulons savoir si la thérapie a un effet sur la perception de la douleur.

En termes simples, dans un cas, la thérapie a une influence et dans l'autre, la thérapie n'a pas d'influence sur la perception de la douleur. Ici, la perception de la douleur ne change pas au fil du temps, dans le premier cas, elle change.

Calculer le test de Friedman

Supposons que l'on veuille étudier s'il existe une différence dans la réactivité des personnes le matin, à midi et le soir. À cette fin, vous avez mesuré la réactivité de 7 personnes le matin, à midi et le soir.

Dans un premier temps, nous devons classer les valeurs. Pour ce faire, nous examinons chaque ligne séparément.

Dans la première ligne, ou pour la première personne, 45 est la valeur la plus élevée, elle obtient le rang 1, puis vient 36 avec le rang 2 et 34 avec le rang 3. Nous procédons de la même manière pour la deuxième ligne. Ici, 36 est la plus grande valeur et obtient le rang 1, puis viennent 33 au rang 2 et 31 au rang 3. Nous procédons ainsi pour chaque ligne.

Ensuite, nous pouvons calculer la somme des rangs à chaque fois, il suffit donc de faire la somme de tous les rangs à la fois. Le matin, nous obtenons 17, à midi 11 et le soir 14.

S'il n'y avait pas de différence entre les différents moments en termes de temps de réaction, nous enregistrerions la valeur attendue à tous les moments. La valeur attendue est obtenue avec cette formule et dans ce cas, elle est de 14. Ainsi, s'il n'y a pas de différence entre le matin, le midi et le soir, nous nous attendons à une somme de rangs de 14 pour les trois points dans le temps.

Ensuite, nous pouvons calculer la valeur du khi-deux, que nous obtenons à l'aide de la formule suivante. N est le nombre de personnes, c'est-à-dire 7, k est le nombre de points dans le temps, c'est-à-dire 3 et la somme de R^2 est 17^2 + 11^2 + 14^2. Nous obtenons donc une valeur de khi-deux de 2,57.

Nous avons maintenant besoin du nombre de degrés de liberté. Celui-ci est donné par le nombre de points temporels moins 1, donc dans notre cas 2.

Nous pouvons maintenant lire la valeur critique du khi-deux dans le tableau des valeurs critiques du khi-deux. Pour cela, nous prenons le niveau de signification prédéfini, disons 0,05 et le nombre de degrés de liberté. Nous pouvons alors lire que la valeur critique du khi-deux est de 5,99. Cette valeur est supérieure à la valeur calculée. Par conséquent, l'hypothèse nulle n'est pas rejetée et, sur la base de ces données, il n'y a pas de différence entre la réactivité aux différents points dans le temps. Si la valeur du khi-deux calculée était supérieure à la valeur critique, nous rejetterions l'hypothèse nulle.

Calculer le test de Friedman avec DATAtab

Pour calculer le test de Friedman, il suffit d'utiliser DATAtab. Pour ce faire, il suffit de se rendre dans la calculatrice du test de Friedman sur DATAtab et de copier ses propres données dans le tableau de la calculatrice de statistiques.

Nous obtenons maintenant les résultats du test de Friedman.

On obtient d'abord les statistiques descriptives. Ensuite, on peut lire la valeur p. Si vous ne savez pas comment exactement interpréter la valeur p, vous pouvez simplement consulter l'interprétation en toutes lettres. Un test de Friedman a montré qu'il n'y a pas de différence significative entre les variables khi-deux = 2,57, p = 0,276

Si la valeur p est supérieure au seuil de signification fixé, l'hypothèse nulle est retenue. L'hypothèse nulle est qu'il n'y a pas de différence entre les groupes. Habituellement, un seuil de signification de 0,05 est utilisé, de sorte que cette valeur p est supérieure à 0,05.

Test post-hoc

DATAtab propose également un test post-hoc. Si votre valeur p est inférieure à 0,05, vous pouvez examiner ici quels sont les groupes qui diffèrent réellement !

Ici, deux groupes sont considérés dans chaque ligne et l'hypothèse nulle est testée pour savoir si les deux échantillons sont identiques, la "valeur p ajustée" est obtenue en multipliant la valeur p par le nombre de tests.

Si le test post-hoc indique que la valeur p est inférieure à 0,05, on suppose que ces groupes sont différents.