Coefficient de corrélation de Spearman
La corrélation de rang de Spearman examine la relation entre deux variables. La corrélation de rang de Spearman est le pendant non paramétrique de la corrélation de Pearson. Par conséquent, la distribution normale des données n'est pas requise pour la corrélation de Spearman.
Il existe une différence importante entre les deux coefficients de corrélation ! La corrélation de Spearman utilise les rangs des données plutôt que les données de sortie, d'où le nom de corrélation de rangs.
Exemple de corrélation de Spearman
Nous avons mesuré le temps de réaction de 8 joueurs de jeux vidéo et leur avons demandé leur âge.
Si nous utilisons une corrélation de Pearson, nous prenons simplement les deux variables que sont le temps de réaction et l'âge et nous calculons le coefficient de corrélation de Pearson. Cependant, nous voulons maintenant calculer la corrélation de rang de Spearman, donc nous attribuons d'abord un rang à chaque personne pour le temps de réaction et l'âge.
Le temps de réaction est déjà classé par taille. 12 est la valeur la plus petite, elle obtient donc le rang 1, 15 est la deuxième valeur la plus petite, elle obtient donc le rang 2 et ainsi de suite. Nous procédons de la même manière pour l'âge.
Voyons cela sous la forme d'un diagramme de dispersion. Sur le côté gauche, nous voyons les données initiales de l'âge et de la réactivité et sur le côté droit, les rangs.
Nous avons étudié 8 personnes et comme nous n'avons pas de corrélations entre les rangs, nous avons donc 8 rangs à attribuer. Grâce à cette transformation, les données sont désormais réparties plus uniformément.
Pour calculer la corrélation de Spearman, il suffit de calculer la corrélation de Pearson des rangs. La corrélation de Spearman est donc la même que la corrélation de Pearson, sauf que les rangs sont utilisés à la place des valeurs initiales.
Nous allons jeter un coup d'œil rapide à cette méthode dans DATAtab. Vous pouvez charger les données que nous avons utilisées ici.
Une fois que nous avons le temps de réaction et l'âge, nous avons les rangs qui viennent d'être créés à partir du temps de réaction et de l'âge.
Nous pouvons maintenant calculer la corrélation de rang de Spearman à partir du temps de réaction et de l'âge ou calculer la corrélation de Pearson à partir des rangs. Dans les deux cas, nous obtenons une corrélation de 0,9.
Correlación de rangos de Spearman y tau de Kendall
Le tau de Kendall est très similaire à la corrélation de Spearman. Cependant, le tau de Kendall doit être préféré à la corrélation de Spearman lorsqu'on ne dispose que de quelques données avec de nombreuses égalités.
Équation de la corrélation de Spearman
S'il n'y a pas d'égalité de rang, cette équation peut également être utilisée pour calculer la corrélation de Spearman.
où n est le nombre de cas et d la différence de classement entre les deux variables. Pour notre exemple, le résultat est le suivant :
La somme de di2 est de 8 et n, qui est le nombre de personnes, est également de 8. Si nous mettons tout cela bout à bout, nous obtenons un coefficient de corrélation de 0,9.
Coefficient de corrélation de Spearman
Tout comme le coefficient de corrélation de Pearson r, le coefficient de corrélation de Spearman rs varie également entre -1 et 1.
À l'aide de ce coefficient, nous pouvons maintenant déterminer deux choses :
- l'intensité de la corrélation
- et dans quelle direction va la corrélation.
La force de la corrélation peut être lue dans un tableau.
| Quantité de r | Force de la corrélation |
|---|---|
| 0.0 < 0.1 | pas de corrélation |
| 0.1 < 0.3 | faible corrélation |
| 0.3 < 0.5 | corrélation moyenne |
| 0.5 < 0.7 | corrélation élevée |
| 0.7 < 1 | corrélation très élevée |
Si le coefficient est compris entre -1 et 0, il s'agit d'une corrélation négative, c'est-à-dire d'une relation négative entre les variables. Si nous avons un coefficient entre 0 et 1, il y a une corrélation positive, c'est-à-dire une relation positive entre les deux variables. Si le résultat est 0, plus précisément, il n'y a pas de corrélation.
Test de significativité des coefficients de corrélation
Souvent, cependant, à partir d'un échantillon, on veut tester une hypothèse sur la population.
Nous avons calculé le coefficient de corrélation pour les données de l'échantillon. Nous pouvons maintenant tester si le coefficient de corrélation est significativement différent de 0.
L'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative se traduisent donc par :
- Hypothèse nulle : le coefficient de corrélation r = 0 (il n'y a pas de corrélation).
- Hypothèse alternative : le coefficient de corrélation r ≠ 0 (il y a une corrélation).
La question de savoir si le coefficient de corrélation est significativement différent de zéro, sur la base de l'échantillon collecté, peut être testée à l'aide d'un test t.
où r est le coefficient de corrélation et n la taille de l'échantillon. Une valeur p peut alors être calculée à partir de la statistique de test t. Si la valeur p est inférieure au niveau de signification spécifié (généralement 5 %), l'hypothèse nulle est rejetée, sinon elle ne l'est pas.
Si nous utilisons DATAtab pour le calcul de l'exemple, nous obtenons une valeur p de 0,002.
La valeur p est donc inférieure à 0,05 et nous pouvons donc rejeter l'hypothèse nulle selon laquelle le coefficient de corrélation serait nul dans la population.
