Test t à un échantillon

Le test t est l'un des tests d'hypothèse les plus courants en statistique. Il permet de déterminer si la moyenne de l'échantillon et la moyenne de la population diffèrent ou si les moyennes de deux échantillons diffèrent statistiquement. Le test t fait la distinction entre

• le test t pour un échantillon
• le test t sur échantillon indépendant
• le test t pour échantillons appariés

Le choix du test t à utiliser dépend de la disponibilité d'un ou de deux échantillons. Si deux échantillons sont disponibles, une distinction est faite entre les échantillons dépendants et indépendants. Dans ce tutoriel, vous trouverez tout ce qu'il faut savoir sur le test t à un échantillon.

Astuce : Vous voulez calculer la valeur t ? Vous pouvez facilement la calculer pour les trois tests t en ligne dans la calculatrice de test t sur DATAtab.

Le test t à un échantillon est utilisé pour vérifier si la population diffère d'une valeur fixe. La question est donc la suivante: existe-t-il des différences statistiquement significatives entre la moyenne d'un échantillon et la valeur fixée ? La valeur fixée peut, par exemple, refléter le pourcentage restant de la population ou un objectif de qualité à contrôler.

Hypothèses

Dans un test t à un échantillon, les données considérées doivent provenir d'un échantillon aléatoire, avoir une échelle de mesure métrique et être normalement distribuées.

Test t à une queue et test t à deux queues

Pour savoir si un échantillon diffère de la population, il faut donc calculer un test t à un échantillon. Mais avant de pouvoir calculer le test t, il faut d'abord définir une question et des hypothèses. Cela permet de déterminer s'il faut calculer un test t unilatéral (directionnel) ou bilatéral (non directionnel).

La question permet de définir l'objet de l'étude. Dans le cas du test t à un échantillon, la question est la suivante :

Pour les exemples ci-dessus, cela nous donne les questions suivantes :

• La perception de la santé par les cadres au Canada diffère-t-elle de celle de l'ensemble de la population canadienne ?
• L'usine de production fabrique-t-elle des vis d'un poids de 10 grammes ?
• Le nouveau médicament réduit-il la tension artérielle de 10 mmHg en une semaine ?

Test t d'hypothèses

Pour réaliser un test t à un échantillon, les hypothèses suivantes sont formulées :

Formule du test t à un échantillon

Le test t peut être calculé à l'aide d'un logiciel de statistiques comme DATAtab ou à la main. Pour le calcul à la main, il faut d'abord obtenir la statistique de test t, qui peut être calculée pour le test t à un échantillon à l'aide de la formule suivante :

Afin de vérifier si la valeur moyenne de l'échantillon diffère significativement de celle de la population, la valeur t critique doit être calculée. Il faut d'abord connaître le nombre de degrés de liberté, abrégé ddl, qui se calcule en prenant le nombre d'échantillons moins un.

où l'écart-type est l'écart-type de la population estimé à partir de l'échantillon.

Si le nombre de degrés de liberté est connu, la valeur t critique peut être déterminée à l'aide de la table des valeurs t. Pour un échantillon de 12 personnes, le degré de liberté est de 11 et le niveau de signification est supposé être de 5 %. Le tableau ci-dessous présente les valeurs t pour une distribution ouverte unilatérale. Selon que l'on souhaite calculer un test t unilatéral (directionnel) ou bilatéral (non directionnel), il faut lire la valeur t à 0,95 ou à 0,975. Pour l'hypothèse non directionnelle et un niveau de signification de 5 %, la valeur t critique est de 2,201.

Si la valeur t calculée est inférieure à la valeur t critique, il n'y a pas de différence significative entre l'échantillon et la population ; si elle est supérieure à la valeur t critique, il y a une différence significative.

Interpréter la valeur t

La valeur t est calculée en divisant la différence mesurée par la dispersion des données de l'échantillon. Plus l'amplitude de t est grande, plus cela plaide contre l'hypothèse nulle. Si la valeur t calculée est supérieure à la valeur t critique, l'hypothèse nulle est rejetée.

Nombre de degrés de liberté - ddl

Le nombre de degrés de liberté indique combien de valeurs peuvent varier librement. Les degrés de liberté correspondent donc au nombre d'informations individuelles indépendantes.

Exemple de test t à un échantillon

À titre d'exemple de test t pour un échantillon, nous examinons si un didacticiel de statistiques en ligne nouvellement introduit à l'université a un effet sur les résultats des étudiants aux examens.

La note moyenne à l'examen de statistiques dans une université est de 28 points depuis des années. Ce semestre, un nouveau cours de statistiques en ligne a été introduit. La direction du cours aimerait maintenant savoir si la réussite des études a changé depuis l'introduction du tutoriel de statistiques : le cours de statistiques en ligne a-t-il un effet positif sur les résultats aux examens ?

La population considérée est l'ensemble des étudiants qui ont passé l'examen de statistique depuis l'introduction du nouveau didacticiel de statistique. La valeur de référence à comparer est 28.

Les résultats suivants sont obtenus avec DATAtab : la valeur moyenne est de 32,33 et l'écart-type de 5,46. L'erreur standard de la valeur moyenne est donc de 1,57. La statistique t donne donc 2,75.

Vous souhaitez maintenant savoir si votre hypothèse (le score est de 28) est significative ou non. Pour ce faire, vous devez d'abord spécifier un niveau de signification dans Datatab, habituellement 5%, qui est présélectionné. Vous obtiendrez alors le tableau ci-dessous dans Datatab.

Pour déterminer si l'hypothèse est significative, on peut utiliser l'une des deux valeurs suivantes :

• la valeur p (bilatérale)
• l'intervalle de confiance inférieur et supérieur de la différence

Dans cet exemple, la valeur p (bilatérale) est égale à 0,02, soit 2 %. En d'autres termes, cela signifie que la probabilité qu'un échantillon présentant une différence moyenne de 4,33 ou plus soit tiré de la population est de 2 %. Le seuil de signification a été fixé à 5 %, ce qui est supérieur à 2 %. C'est pourquoi on suppose qu'il existe une différence significative entre l'échantillon et la population.

L'existence ou non d'une différence significative peut également être lue dans l'intervalle de confiance de la différence. Si les limites inférieure et supérieure sont inférieures à zéro, il n'y a pas de différence significative. Si ce n'est pas le cas, il y a une différence significative. Dans cet exemple, la valeur inférieure est de 0,86 et la valeur supérieure de 7,81. Comme les valeurs inférieure et supérieure ne touchent pas zéro, il y a une différence significative.