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Écart-type

L'écart-type est une mesure statistique qui quantifie le degré de variation ou de dispersion dans un ensemble de données. En d'autres termes, il nous indique à quel point les valeurs sont dispersées autour de la moyenne de l'ensemble de données.

Supposons que nous mesurions la taille d'un petit groupe de personnes. L'écart-type nous indique dans quelle mesure nos données s'écartent de la moyenne.

Calcul de l'écart-type

Pour calculer l'écart-type, nous devons d'abord calculer la moyenne. Nous obtenons la moyenne en additionnant simplement les tailles de toutes les personnes et en divisant par le nombre de personnes. Supposons que nous obtenions une moyenne de 155 cm. Maintenant, nous voulons savoir à quel point chaque personne s'écarte de cette moyenne.

Exemple d'écart-type

Ainsi, nous observons la première personne, qui s'écarte de 18 cm par rapport à la moyenne, la deuxième personne s'écarte de 8 cm, la troisième de 15 cm, la quatrième de 8 cm, la cinquième de 9 cm, et enfin, la dernière personne s'écarte de 6 cm par rapport à la moyenne. En d'autres termes : les personnes très grandes ou très petites s'écartent davantage de la moyenne.

Nous ne nous intéressons pas à l'écart de chaque personne par rapport à la moyenne individuellement, mais nous voulons savoir dans quelle mesure les personnes, en moyenne, s'écartent de la moyenne, et c'est précisément ce que l'écart-type nous indique.

Écart-type

Dans notre exemple, l'écart moyen par rapport à la moyenne est de 11,5 cm. Pour calculer l'écart-type, nous pouvons utiliser cette formule :

Formule de l'écart-type

Ainsi, l'écart-type est la racine carrée de la somme des carrés des écarts divisée par le nombre de valeurs.

Pour notre exemple, cela signifie que nous calculons la taille de la première personne moins la moyenne et la mettons au carré, la taille de la deuxième personne moins la moyenne et la mettons au carré, et ainsi de suite jusqu'à la dernière personne.

Exemple de formule d'écart-type

Ensuite, nous divisons cela par le nombre de personnes, c'est-à-dire 6, et prenons la racine carrée. Le résultat est un écart-type de 11,5 cm.

Chaque personne a donc un certain écart par rapport à la moyenne, mais en moyenne, les personnes s'écartent de 11,5 cm de la moyenne, ce qui correspond à l'écart-type.

Vous avez peut-être remarqué une chose : je parle constamment de « l'écart moyen » par rapport à la moyenne. Mais pour l'écart moyen, il suffirait simplement d'additionner tous les écarts et de les diviser par le nombre de participants, tout comme pour calculer une moyenne, n'est-ce pas ?

C'est absolument correct, mais il existe différents types de moyennes. Dans le cas de l'écart-type, nous utilisons la moyenne quadratique au lieu de la moyenne arithmétique.

Écart moyen par rapport à la moyenne

Différentes Formules

Jusqu'ici tout va bien. Maintenant, il y a une chose de plus à prendre en compte ! Il existe deux formules légèrement différentes pour l'écart-type.

Différentes formules de l'écart-type

La différence est que, dans un cas, nous divisons par n, et dans l'autre, nous divisons par n-1. Mais pourquoi existe-t-il deux formules différentes ?

Normalement, nous voulons connaître l'écart-type de l'ensemble de la population. Par exemple, nous voulons connaître l'écart-type de la taille de tous les joueurs de football professionnels allemands.

Si nous avions la taille de tous les joueurs de football professionnels allemands, nous utiliserions la formule avec 1 divisé par n.

Écart-type de la population

Cependant, il est généralement impossible de sonder l'ensemble de la population, c'est pourquoi nous prenons un échantillon. Nous utilisons alors cet échantillon pour estimer l'écart-type de la population. Dans ce cas, nous utilisons la formule avec n-1.

Écart-type estimé

En résumé : si notre enquête ne couvre pas l'ensemble de la population, nous utilisons toujours la formule avec n-1 ! Si nous avons réalisé une étude clinique, nous utilisons également cette formule pour en déduire la population.

Écart-type et Variance

Mais quelle est la différence entre l'écart-type et la variance ? Comme nous le savons, l'écart-type est la moyenne quadratique de la distance par rapport à la moyenne. La variance est l'écart-type au carré.

Écart-type et Variance

Nous avons donc presque la même formule ! La seule différence est que pour l'écart-type, nous prenons la racine carrée. Pour la variance, nous ne le faisons pas.

Comme la racine carrée est prise, l'écart-type est toujours dans la même unité que les données d'origine. Dans notre cas, des centimètres ! Il est donc conseillé d'utiliser l'écart-type pour décrire les données, car cela simplifie l'interprétation.

Écart-type vs Variance

La variance est plus difficile à interpréter car l'unité est le carré de l'unité d'origine. Dans notre cas, des cm2.

Cité DATAtab: DATAtab Team (2025). DATAtab: Online Statistics Calculator. DATAtab e.U. Graz, Austria. URL https://datatab.net

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